LaTeX

TeX是由著名的计算机科学家 Donald E. Knuth（高德纳） 于1977年发明的排版系统.
TeX 在希腊语中这个词的意思是“科技”和“艺术”.

LaTeX 是一套建在TeX之上的,当今世界上最流行和使用最广泛的TEX宏集.
由美国计算机科学家莱斯利·兰伯特在20世纪80年代初期开发

KaTeX 与 MathJax 都是JavaScript数学公式渲染器.
相较而言, KaTeX渲染速度更高,但支持不够全面.

Notion采用的是KaTeX数学公式语法.

行内公式

行内公式只需要在数学公式前后加上 $$即可。

例如： 输入$$E=mc^2$$即可显示$E=mc^2$。

行间公式

在 notion 文章中的行首输入 /math equation，在公式输入框中直接输入公式：

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,

即可显示如下行间公式： $$ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt, $$

希腊字母表

空格

通常MathJax通过内部策略自己管理公式内部的空间，因此a…b与a…….b（.表示空格）都会显示为ab。可以通过在ab间加入\,增加些许间隙，\;增加较宽的间隙，\quad与\qquad会增加更大的间隙。

上标与下标

上标和下标分别使用^与_，例如x_i^2表示的是：

$$ x_i^2 $$

默认情况下，上、下标符号仅仅对下一个组起作用。一个组即单个字符或者使用{..}包裹起来的内容。如果使用10^10表示的是

$$ 10^10 $$

而10^{10}才是

$$ 10^{10} $$

同时，大括号还能消除二义性，如x^5^6将得到一个错误，必须使用大括号来界定^的结合性，如{x^5}^6：

$$ {x^5}^6 $$

或者x^{5^6}：

$$ x^{5^6} $$

括号

小括号与方括号

使用原始的( )即可，如(2+3)[4+4]：

$$ 2+3 $$

使用\left(或\right)使符号大小与邻近的公式相适应（该语句适用于所有括号类型），如\left(\frac{x}{y}\right)：

$$ \left(\frac{x}{y}\right) $$

大括号

由于大括号{}

被用于分组，因此需要使用\{和\}表示大括号，也可以使用\lbrace和\rbrace来表示。

如\{a\*b\}:a\∗b或\lbrace a\*b\rbrace :a\*b表示 :

$$ {a * b}:a ∗ b $$

尖括号

区分于小于号和大于号，使用\langle和\rangle表示左尖括号和右尖括号。如\langle x \rangle表示：

$$ \langle x \rangle $$

上取整

使用\lceil和\rceil表示。 如，\lceil x \rceil：

$$ \lceil x \rceil $$

下取整

使用\lfloor和\rfloor表示。如，\lfloor x \rfloor：

$$ \lfloor x \rfloor $$

求和与积分

求和

\sum用来表示求和符号，其下标表示求和下限，上标表示上限。如:\sum_{r=1}^n表示：

$$ \sum_{r=1}^n $$

积分

\int用来表示积分符号，同样地，其上下标表示积分的上下限。如，\int_{r=1}^\infty：

$$ \int_{r=1}^\infty $$

多重积分同样使用int，通过i的数量表示积分导数：\iint：

$$ \iint $$

\iiint：

$$ \iiint $$

连乘

\prod {a+b}，输出：

$$ \prod {a+b} $$

\prod_{i=1}^{K}，输出：

$$ \prod_{i=1}^{K} $$

其他

与此类似的符号还有，

\prod：

$$ \prod $$

\bigcup：

$$ \bigcup $$

\bigcap：

$$ \bigcap $$

arg\,\max_{c_k}：

$$ arg,\max_{c_k} $$

arg\,\min_{c_k}：

$$ arg,\min_{c_k} $$

\mathop {argmin}_{c_k}：

$$ \mathop {argmin}_{c_k} $$

\mathop {argmax}_{c_k}：

$$ \mathop {argmax}_{c_k} $$

\max_{c_k}：

$$ \max_{c_k} $$

\min_{c_k}：

$$ \min_{c_k} $$

分式与根式

分式

• 第一种，使用\frac ab，\frac作用于其后的两个组a ，b ，结果为。如果你的分子或分母不是单个字符，请使用{..}来分组，比如\frac {a+c+1}{b+c+2}表示

$$ \frac {a+c+1}{b+c+2} $$

• 第二种，使用\over来分隔一个组的前后两部分，如{a+1 \over b+1}：

$$ {a+1 \over b+1} $$

连分数

书写连分数表达式时，请使用\cfrac代替\frac或者\over两者效果对比如下：

用\frac 表示如下：

x=a_0 + \frac {1^2}{a_1 + \frac {2^2}{a_2 + \frac {3^2}{a_3 + \frac {4^2}{a_4 + ...}}}}

显示如下：

$$ x=a_0 + \frac {1^2}{a_1 + \frac {2^2}{a_2 + \frac {3^2}{a_3 + \frac {4^2}{a_4 + …}}}} $$

用\cfrac表示如下：

x=a_0 + \cfrac {1^2}{a_1 + \cfrac {2^2}{a_2 + \cfrac {3^2}{a_3 + \cfrac {4^2}{a_4 + ...}}}}

显示如下：

$$ x=a_0 + \cfrac {1^2}{a_1 + \cfrac {2^2}{a_2 + \cfrac {3^2}{a_3 + \cfrac {4^2}{a_4 + …}}}} $$

根式

根式使用\sqrt来表示。 如开4次方：\sqrt[4]{\frac xy}：

$$ \sqrt[4]{\frac xy} $$

开平方：\sqrt {a+b}：

$$ \sqrt {a+b} $$

分类表达式

定义函数的时候经常需要分情况给出表达式，使用\begin{cases} xx end{cases} 。其中：

• 使用\\ 来换行;
• 使用& 指示需要对齐的位置;
• 使用\ +空格表示空格.

L(Y,f(X)) =
\begin{cases}
0, & \text{Y = f(X)} \\
1, & \text{Y $\neq$ f(X)}
\end{cases}

$$ L(Y,f(X)) = \begin{cases} 0, & \text{Y = f(X)} \ 1, & \text{Y $\neq$ f(X)} \end{cases} $$

如果想分类之间的垂直间隔变大，可以使用\\[2ex]代替\\来分隔不同的情况。(3ex,4ex也可以用，1ex相当于原始距离）。如下所示：

L(Y,f(X)) =
\begin{cases}
0, & \text{Y = f(X)} \\[5ex]
1, & \text{Y $\neq$ f(X)}
\end{cases}

$$ L(Y,f(X)) = \begin{cases} 0, & \text{Y = f(X)} \[5ex] 1, & \text{Y $\neq$ f(X)} \end{cases} $$

多行表达式

有时候需要将一行公式分多行进行显示。
默认就是l(left,左对齐). r, c.

\begin{aligned}
a&=b+c-d \\
&\quad +e-f\\
&=g+h\\
& =i
\end{aligned}

$$ \begin{aligned} a& =b+c-d \ &\quad +e-f\ &=g+h\ &=i \end{aligned} $$

\begin{array}{l}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}

$$ \begin{aligned} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{aligned} $$

特殊函数与符号

三角函数

\sin x

$$ \sin x $$

\arctanx:

$$ \arctan x $$

比较运算符

小于(\lt)：

$$ \lt $$

大于(\gt)：

$$ \gt $$

小于等于(\le)：

$$ \le $$

大于等于(\ge)：

$$ \ge $$

不等于(\ne) :

$$ \ne $$

可以在这些运算符前面加上\not，如\not\lt:

$$ \not\lt $$

集合关系与运算

并集(\cup):

$$ \cup $$

交集(\cap):

$$ \cap $$

差集(\setminus):

$$ \setminus $$

子集(\subset):

$$ \subset $$

子集(\subseteq):

$$ \subseteq $$

非子集(\subsetneq):

$$ \subsetneq $$

父集(\supset):

$$ \supset $$

属于(\in):

$$ \in $$

不属于(\notin):

$$ \notin $$

空集(\emptyset):

$$ \emptyset $$

空(\varnothing):

$$ \varnothing $$

排列

\binom{n+1}{2k}:

$$ \binom{n+1}{2k} $$

{n+1 \choose 2k}:

$$ {n+1 \choose 2k} $$

箭头

(\to):

$$ \to $$

(\rightarrow):

$$ \rightarrow $$

(\leftarrow):

$$ \leftarrow $$

(\Rightarrow):

$$ \Rightarrow $$

(\Leftarrow):

$$ \Leftarrow $$

(\mapsto):

$$ \mapsto $$

逻辑运算符

(\land):

$$ \land $$

(\lor):

$$ \lor $$

(\lnot):

$$ \lnot $$

(\forall):

$$ \forall $$

(\exists):

$$ \exists $$

(\top):

$$ \top $$

(\bot):

$$ \bot $$

(\vdash):

$$ \vdash $$

(\vDash):

$$ \vDash $$

操作符

(\star):

$$ \star $$

(\ast):

$$ \ast $$

(\oplus):

$$ \oplus $$

(\circ):

$$ \circ $$

(\bullet):

$$ \bullet $$

等于

(\approx):

$$ \approx $$

(\sim):

$$ \sim $$

(\equiv):

$$ \equiv $$

(\prec):

$$ \prec $$

范围

(\infty):

$$ \infty $$

(\aleph_o):

$$ \aleph_o $$

(\nabla):

$$ \nabla $$

(\Im):

$$ \Im $$

(\Re):

$$ \Re $$

模运算

(\pmod):

$$ \pmod n $$

如a \equiv b \pmod n:

$$ a \equiv b \pmod n $$

点

(\ldots):

$$ \ldots $$

(\cdots):

$$ \cdots $$

(\cdot):

$$ \cdot $$

其区别是点的位置不同，\ldots位置稍低，\cdots位置居中。

\begin{aligned}
a_1+a_2+\ldots+a_n \\
a_1+a_2+\cdots+a_n
\end{aligned}

$$ \begin{aligned} a_1+a_2+\ldots+a_n \ a_1+a_2+\cdots+a_n \end{aligned} $$

顶部符号

对于单字符，\hat x：

$$ \hat x $$

多字符可以使用\widehat {xy}：

$$ \widehat {xy} $$

类似的还有: (\overline x):

$$ \overline x $$

矢量(\vec{F}):

$$ \vec{F} $$

向量(\overrightarrow {xy}):

$$ \overrightarrow {xy} $$

(\dot x):

$$ \dot x $$

(\ddot x):

$$ \ddot x $$

(\dot {\dot x}):

$$ \dot {\dot x} $$

矩阵

基本内容

使用\begin{matrix}…\end{matrix} 这样的形式来表示矩阵，在\begin 与\end 之间加入矩阵中的元素即可。矩阵的行之间使用\\ 分隔，列之间使用& 分隔，例如:

\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2
\end{matrix}

$$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 \ 1 & y & y^2 \ 1 & z & z^2
\end{matrix} $$

如果要对矩阵加括号，可以像上文中提到的一样，使用\left 与\right 配合表示括号符号。也可以使用特殊的matrix 。即替换\begin{matrix}…\end{matrix} 中matrix 为pmatrix ，bmatrix ，Bmatrix ，vmatrix , Vmatrix 。

• pmatrix\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{pmatrix} :

$$ \begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\ \end{pmatrix} $$

• bmatrix\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{bmatrix} :

$$ \begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\ \end{bmatrix} $$

• Bmatrix\begin{Bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Bmatrix} :

$$ \begin{Bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\ \end{Bmatrix} $$

• vmatrix\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{vmatrix} :

$$ \begin{vmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\ \end{vmatrix} $$

• Vmatrix\begin{Vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Vmatrix} :

$$ \begin{Vmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\ \end{Vmatrix} $$

元素省略

可以使用\cdots ：⋯，\ddots：⋱ ，\vdots：⋮ 来省略矩阵中的元素，如：

\begin{pmatrix}
1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\\
1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\\
\end{pmatrix}

$$ \begin{pmatrix} 1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\ 1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ 1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\ \end{pmatrix} $$

增广矩阵

增广矩阵需要使用前面的表格中使用到的\begin{array} … \end{array} 来实现。

\left[ \begin{array} 
{c c | c}  %这里的c表示数组中元素对其方式：c居中、r右对齐、l左对齐，竖线表示2、3列间插入竖线
1 & 2 & 3 \\
\hline     %插入横线，如果去掉\hline就是增广矩阵
4 & 5 & 6\end{array} \right]

显示为：

$$ \left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \ \hline 4 & 5 & 6 \end{array} \right] $$

公式标记

使用\tag{yourtag}来标记公式，如a = x^2 - y^3 \tag{1}显示为(标记默认带括号)：

$$ \tag{1} a = x^2 - y^3 $$

在tag后面加*号可去掉括号，如x+y=z\tag*{1.1}显示为：

$$ x+y=z\tag*{1.1} $$